Expresiones Racionales

EXPRESIONES RACIONALES

 Si  p(x) y q(x) son dos polinomios, con q(x) ≠ 0, entonces el cociente: p(x) / q(x) se le denomina expresión racional.

Una expresión racional o expresión algebraica es un cociente de polinomios.

SIMPLIFICACIÓN

Expresión racional = p(x) / q(x)

Con q(x) ≠ 0. Normalmente estas expresiones necesitan ser simplificadas, es decir, transformadas en una expresión equivalente más simple.

Cómo simplificar una expresión racional:

Para simplificar las expresiones racionales debemos seguir los siguientes pasos:

Factorizar numerador y denominador.

Simplificar.

Ejemplo 1: Simplificar la siguiente expresión racional (x² + 8x + 12) / (x² – 36).

Factorizamos el numerador y el denominador, recordando que (a² – 3b²) = (a + b)(a – b):

(x² + 8x + 12) / (x² – 36) = [(x – 6)(x – 2)] / [(x + 6)(x – 6)] =

Simplificando la expresión anterior:

= (x – 2) / (x + 6)

Resultado final:

(x² + 8x + 12) / (x² – 36) = (x – 2) / (x + 6)

Como (x – 2) y (x + 6) no tienen ningún factor en común, esta expresión es irreducible y entonces está en su más simple expresión.

Ejemplo 2: Simplificar la siguiente expresión racional  (n³ – n) / (n² – 5n – 6).

Factorizamos el numerador y el denominador:

 (n³ – n) / (n² – 5n – 6) = n(n² – 1) / [(n – 6)(n – 1)] =

= [n(n – 1)(n + 1)] / [(n – 6)(n – 1)] =

Simplificando la expresión anterior:

= n(n + 1) / (n – 6)

Resultado final:

(n³ – n) / (n² – 5n – 6) = n(n + 1) / (n – 6)

Como n(n + 1) y (n – 6)no tienen ningún factor en común, esta expresión es irreducible y entonces está en su más simple expresión.

MULTIPLICACIÓN

 Sea p(x) y q(x) dos polinomios, con q(x) ≠ 0, entonces el cociente p(x) / q(x) le denominaremos  expresión racional o expresión algebraica. Ahora sea p(x) / q(x) y r(x) / s(x) dos expresiones racionales con q(x) ≠ 0 y s(x) ≠ 0, entonces:

[p(x) / q(x)] × [r(x) / s(x)] = p(x)∙s(x) / q(x)∙(r(x)

En general, para multiplicar expresiones racionales recomendamos seguir los siguientes pasos:

Teniendo dos términos en forma de fracción se multiplica numerador a numerador y denominador a denominador.

Se factoriza el numerador y denominador.

Se simplifica la expresión.

Ejemplo 1: Resolver la siguiente multiplicación de expresión racional: [(x + 3) / 2x] × [5x² / (x + 2)].

Multiplicamos los numeradores de ambas expresiones, hacemos lo mismo con los denominadores:

[(x + 3) / 2x] × [5x² / (x + 2)] = [5x²(x + 3)] / [(2x)(x + 2)] =

Simplificamos:

= [5x(x + 3)] / [2(x + 2)]

Resultado final:

[(x + 3) / 2x] × [5x² / (x + 2)] = [5x(x + 3)] / [2(x + 2)]

Ejemplo 2: Resolver la siguiente multiplicación de expresión racional:

 [(y² – 4) / (y² + 5x + 4)] × [(y² + 2y – 8) / (y² – 4y + 4)].

[(y² – 4) / (y² + 5x + 4)] × [(y² + 2y – 8) / (y² – 4y + 4)] = [(y² – 4) [(y² + 2y – 8) / (y² + 5x + 4) (y² – 4y + 4)] =

Factorizamos:

= [(y + 2)(y – 2)(y + 4)(y – 2)] /  [(y + 1)(y + 4)(y – 2)(y – 2)] =

Simplificamos la expresión anterior:

= (y + 2) / (y + 1)

Resultado final:

[(y² – 4) / (y² + 5x + 4)] × [(y² + 2y – 8) / (y² – 4y + 4)] = (y + 2) / (y + 1)

DIVISIÓN

 Sea p(x) y q(x) dos polinomios, con q(x) ≠ 0, entonces el cociente p(x) / q(x) es una expresión racional o expresión algebraica. Ahora sea p(x) / q(x) y r(x) / s(x) dos expresiones racionales con q(x) ≠ 0 y s(x) ≠ 0, entonces:

[p(x) / q(x)] ÷ [r(x) / s(x)] = p(x)∙s(x) / q(x)∙(r(x)

En general, para dividir expresiones racionales recomendamos seguir los siguientes pasos:

*Multiplicar el numerador del primer término con el denominador del segundo y colocar ese resultado en el numerador después de la igualdad.

*Multiplicar el denominador del primer término por el numerador del segundo y colocar el resultado en el denominador después de la igualdad.

*Factorizar los términos del numerador y denominador, para luego simplificar.

Ejemplo 1: Resolver la siguiente división de expresiones racionales  [(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6].

Multiplicamos el numerador del primer término con el denominador del segundo:

(x² – 9) × 6 = 6(x² – 9)

Este resultado será el numerador de nuestra expresión racional final:

[(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6] =  6(x² – 9) / ¿?

Multiplicamos el denominador del primer término con el numerador del segundo:

(6x + 18) × (x – 3)  = (6x + 18)(x – 3)

Este resultado será el numerador de nuestra expresión racional final:

[(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6] =  6(x² – 9) / [(6x + 18)(x – 3)]

Factorizamos los términos del numerador y denominador:

Como (a² –  b²) = (a + b)(a – b), tenemos:

=  6(x² – 9) / [(6x + 18)(x – 3)] = [6(x + 3)(x – 3)] / [(6x + 18)(x – 3)] = 1

Resultado final:

[(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6] = 1

Ejemplo 2: Resolver la siguiente división de expresiones racionales  [(x² + 3x) / (x² + 2x – 3) ÷ [x / (x + 1)].

Pasos 1 y 2:

[(x² + 3x) / (x² + 2x – 3) ÷ [x / (x + 1)] = [(x² + 3x) (x + 1)] / [x(x² + 2x – 3)] =

Paso 3:

= [x(x+3)(x+1)] / [x(x + 3)(x – 1)] = (x + 1) / (x – 1)

Resultado final:

[(x² + 3x) / (x² + 2x – 3) ÷ [x / (x + 1)] = (x + 1) / (x – 1)

Ejemplo 3: Resolver la siguiente división de expresiones racionales  (n + 1) ÷ [(n² + 4n + 3) / 5].

Paso 1 y 2:

(n + 1) ÷ [(n² + 4n + 3) / 5] = 5(n+1) / (n² + 4n + 3) =

Paso 3:

=(5)(n+1) / [(n + 1)(n + 3)] = 5 / (n + 3)

Resultado final:

(n + 1) ÷ [(n² + 4n + 3) / 5] = 5 / (n + 3)

SUMA Y RESTA

 Una expresión racional o expresión algebraica es un cociente de polinomios; si p(x) y q(x) son dos polinomios, con q(x) ≠ 0, entonces el cociente p(x) / q(x) es una expresión racional.

Ahora, sea [p(x) / q(x)] y [r(x) / s(x)] dos expresiones racionales con q(x) ≠ 0 y s(x) ≠ 0, entonces:

[p(x) / q(x)] + [r(x) / s(x)] = [p(x)∙s(x) + r(x)∙(q(x)] / q(x)∙s(x)

[p(x) / q(x)] – [r(x) / s(x)] = [p(x)∙s(x) – r(x)∙q(x)] / q(x)∙s(x)

En general, para sumar y restar expresiones racionales se recomienda seguir los siguientes pasos:

*Factorizar completamente todos los denominadores.

*Determinar el común denominador o mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Para ello se escogen los factores no repetidos y los repetidos con mayor exponente.

*Convertir todas las fracciones en homogéneas, de manera que todas tengan el (mcm) en el denominador.

*Resolver aplicando operaciones (+,-,×,÷) de fracciones homogéneas

.

Ejemplo: Resolver la siguiente expresión racional: [2 / (x – 4)] – [x /(x² – 2x – 8)] + [(x – 3) / (x² + x – 2)]

Factorizamos completamente todos los denominadores:

[2 / (x – 4)] – [x / (x – 4)(x + 2)] + [(x – 3) / (x + 2)(x – 1)]               (1)

Encontramos el (mcm): de todos los denominadores de la expresión (1), vemos que el menos común es (x – 1) y de los repetidos se toman los que tengan mayor exponente, en este caso tomamos (x – 4) y (x + 2). Entonces:

(mcm) = (x – 1)(x – 4)(x + 2)

Convertimos las fracciones en homogéneas: multiplicamos y dividimos el (mcm) por la expresión (1), tanto en el numerador como en el denominador:

[2 / (x – 4)] – [x / (x – 4)(x + 2)] + [(x – 3) / (x + 2)(x – 1)] ∙ {[(x – 1)(x – 4)(x + 2)] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]} =

= {[ 2(x-1)(x+2)] / [(x-1)(x-4)(x+2)]} – {x(x – 1) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]} + {[(x – 3)(x – 4)] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]} =

Resolvemos aplicando operaciones (+,-,×,÷) de fracciones homogéneas:

= [2(x – 1)(x + 2) – x(x – 1) + (x – 3)(x – 4)] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)] =

= [2(x² + x – 2) – x² + x + x² – 7x + 12] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)] =

= (2x² + 2x – 4 – x² + x + x² – 7x + 12) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)] =

= (2x² – 4x + 8) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2) =

= 2(x² – 2x + 4) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]                  (2)

Como las raíces de la ecuación cuadrática del numerador son imaginarias, el resultado final es la expresión (2), es decir:

[2 / (x – 4)] – [x /(x² – 2x – 8)] + [(x – 3) / (x² + x – 2)] = 2(x² – 2x + 4) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]